公式は知っている。
それでも難問が解けないのはなぜか
京大の一行問題から考える、数学の発想の入口
たった一行の京都大学入試問題
数学の公式は覚えている。学校の問題集も解いている。それなのに、初めて見る入試問題になると、何を使えばよいのか分からなくなる。
そんな経験はないでしょうか。
今回は、京都大学で出題された、たった一行の問題を考えてみます。
2006年度 京都大学 後期日程・数学
\(\tan 1^\circ\) は有理数か。
出典：2006年度 京都大学 後期日程 数学
問題文は、これだけです。
この問題は三角比の加法定理を使えば解けます。しかし、加法定理を覚えていれば解けるのかというと、話は別です。
そもそも、なぜこの問題で加法定理を使おうと思うのでしょうか。そこを考えてみたいと思います。
問題文は「値を求めよ」と言っていない
まず、問題文をもう一度見てみましょう。
問われているのは、\(\tan 1^\circ\) の具体的な値ではありません。有理数なのか、そうでないのかという数の性質です。
つまり、具体的な値を求めずに答えを出す。まずは、そう考えるのが第一感です。
では、値を求めずに有理数かどうかを調べるには、どうすればよいでしょうか。
分からない1°を、知っている角度と結びつけられないか
\(\tan 1^\circ\) の値は、普段使う特別角の三角比には出てきません。
一方で、\(30^\circ\) や \(45^\circ\) なら、三角比の値を知っています。分からない \(1^\circ\) を、こうした知っている角度と結びつけられないでしょうか。
例えば、\(1^\circ\) を30回足せば \(30^\circ\) になります。
ここで、角度を足すことが出来る公式はなかったか。
そう考えてみると、三角比の加法定理が思い浮かびます。
ただし、加法定理を思い出しただけでは、まだ解答にはなりません。この公式を使うと、何が分かるのでしょうか。
加法定理が、性質をつなぐ道具になる
ここで、有理数の性質を考えます。
有理数どうしを足したり、引いたり、掛けたり、0でない数で割ったりしても、結果は有理数です。
では、もし \(\tan 1^\circ\) が有理数だったら、どうなるでしょうか。
加法定理で \(A=B=1^\circ\) とすると、
右辺は、\(\tan 1^\circ\) の四則演算だけで表されています。分母も0ではありません。
したがって、\(\tan 1^\circ\) が有理数なら、\(\tan 2^\circ\) も有理数になるはずです。
同じ考え方を使えば、\(\tan 3^\circ\)、\(\tan 4^\circ\) と続けられます。
つまり、最初の \(\tan 1^\circ\) が有理数だと仮定すると、\(\tan 30^\circ\) まで有理数になるはずです。
加法定理は、ここでは三角比の値を計算するためだけの公式ではありません。「有理数である」という性質を、次の角度へつなぐ道具になっています。
30°までたどり着くと
もし \(\tan 1^\circ\) が有理数なら、ここまでの考え方から \(\tan 30^\circ\) も有理数になるはずです。
ところが、
はもちろん無理数です。
つまり、\(\tan 1^\circ\) が有理数だと仮定すると、矛盾が生じる。
ここで、「背理法」を使えば証明できるという道筋が見えてきます。
したがって、\(\tan 1^\circ\) は有理数ではなく、無理数だと分かります。
証明として整理すると
\(\tan 1^\circ\) が有理数であると仮定する。
加法定理 \(\displaystyle \tan((n+1)^\circ)=\frac{\tan n^\circ+\tan1^\circ}{1-\tan n^\circ\tan1^\circ}\) を用いる。
\(n=1,2,\ldots,29\) の範囲では、分母は0にならない。実際、この範囲の角度の和は \(30^\circ\) 以下であり、加法定理を適用できる。
よって、有理数の四則演算に関する性質から、\(\tan 2^\circ,\tan 3^\circ,\ldots,\tan 30^\circ\) はすべて有理数となる。
しかし、\(\displaystyle \tan30^\circ=\frac1{\sqrt3}\) は無理数である。これは矛盾する。
ゆえに、\(\tan1^\circ\) は無理数である。
問題を解くとき、何を考えるか
問題が何を聞いているのか。何が分かっていて、 何を知っているのか。それらをどう結びつけられるのか。
こうした問いを重ねることが、 難問の解法を見つける手がかりになります。
今回の問題でも、最初から加法定理や背理法を 使おうと決めていたわけではありません。
「値を求める問題ではない」と気づき、 分からない1°を知っている30°と結びつけようとした。 そこから加法定理が思い浮かび、 有理数の性質を考えることで矛盾にたどり着きました。
この問題で使った知識は、いずれも高校数学で学ぶものです。 大切なのは、知っている公式を、 目の前の問題でどう使うかを考えることです。
弘道塾では、答えが合っているかどうかだけでなく、 生徒がどこで考えを止めたのか、 何と何を結びつけられなかったのかを見ています。
公式を知っているのに使えない。 その間にあるものを一つひとつ確かめることも、 数学の指導で大切にしています。