東大物理は、
どこから考えればよいのか
複雑な問題を整理し、必要な知識を選ぶための視点
東大の問題だから、難しいとは限らない
物理の公式は覚えている。 基本的な問題なら解ける。 それでも、長い問題文や見慣れない回路が出てくると、 どこから考えればよいのか分からなくなることがあります。
今回取り上げるのは、 2022年度東京大学の物理第2問です。
台車に取り付けたコイルが磁場を通過する問題です。 最初はコイルと抵抗だけですが、 途中で電池とダイオードが加わり、 最後にはコイルが2本になります。
出典：2022年度 東京大学 前期日程 物理 第2問 （電磁誘導）
登場するものは増えていきますが、 使う物理の知識が特別に難しくなるわけではありません。
今、何を問われているのか。 そのために、どこを見ればよいのか。
この問題を通して、考え方を追ってみます。
まず、現象を分けて考える
コイルが磁場を通過するとき、 ずっと同じことが起きているわけではありません。
※中央の「V=0」は誘導起電力が0という意味です。 磁場の帯がコイルの内側に収まる間は、 コイルを貫く磁束が一定になります。
※図中の電池記号は誘導起電力を表しています。 記号の極性は同じ向きですが、 起電力が生じる辺が異なるため、 回路を一周する向きで見ると逆向きになります。
磁場に入るときと出るときでは、 誘導起電力の向きが逆になります。 磁場の帯がコイルの内側に収まっている間は、 コイルを貫く磁束が一定なので、 誘導起電力は生じません。
では、電池とダイオードが加わったら、 何が変わるでしょうか。
起電力が生じることと、 実際に電流が流れることは別です。 ダイオードがあるなら、 まず電流が流れる条件を確認する。
詳しく見る｜誘導起電力とダイオード
この問題では、コイルの一辺の長さ \(L\) が 磁場の帯の幅 \(d\) より大きくなっています。 したがって、コイル全体が磁場内に入ることはありません。
コイルが磁場に入り始めると、 コイルを貫く磁束が増加します。 磁場の帯がコイルの内側に収まると、 磁束は \(BLd\) で一定になります。 その後、磁場から出るときには磁束が減少します。
磁束の増加と減少では、 誘導起電力の向きが逆になります。
ただし、設問Ⅱには電池とダイオードがあります。 誘導起電力の向きだけで電流を決めず、 電池の極性とダイオードの向きも確認します。
磁場に入るときは、 誘導起電力が電池の起電力を上回る条件で 電流が流れます。 一方、磁場から出るときには、 ダイオードが逆向きの電流を遮断します。
起電力を計算する前に、 どの場面で電流が流れるのかを見極める。 それだけで考えるべき場合を絞れます。
式から、何が読み取れるか
設問Ⅱでは、磁場に入るときの電流を求めます。 ここで、求めた式を少し変形してみます。
電流は、台車の速さが \(v_\infty\) に近づくほど小さくなります。 つまり、台車を減速させる磁力も弱くなるということです。
では、台車が何周もすると、 運動エネルギーはどう変化するでしょうか。
電流の大きさは、 台車の速さと終端速度との差で決まります。 差が小さくなるほど減速も弱まり、 台車の速さは終端速度に近づいていきます。 したがって、運動エネルギーも一定値に近づく形で減少します。
詳しく見る｜電流と運動エネルギーの関係
終端速度を \(\displaystyle v_\infty=\frac{V}{BL}\) とおくと、電流は次のように表せます。
電流が流れている間、 コイルには運動を妨げる向きの磁力が働きます。 その大きさは電流に比例します。
したがって、速さが終端速度に近づくほど 電流は小さくなり、 1周で失われる運動エネルギーも小さくなります。
磁場への進入中、コイルが距離 \(d\) だけ進む間に 磁力がする仕事は、電流をほぼ一定とみなせる 近似のもとで \(-IBLd\) と表せます。
このため、運動エネルギーは 毎周同じ量ずつ減少するのではなく、 次第に減少量が小さくなります。
また、\(v=v_\infty\) では 誘導起電力と電池の起電力がつり合い、 電流は0になります。 逆向きの電流はダイオードが遮断するため、 電池によって再び加速することもありません。
運動エネルギーが近づく値は \(\displaystyle \frac12mv_\infty^2\) です。 途中の周回で突然一定になるのではなく、 1周ごとの減少量が次第に小さくなります。
グラフの形を考えるときは、 「エネルギーが減る」だけでなく、 「1周ごとの減り方がどう変わるか」を見ることが大切です。
前の小問で考えたことを使えないか
設問Ⅲでは、コイルが2本になり、 接続パネルも登場します。
回路が複雑になったように見えますが、 ここで最初から新しい解法を探す必要があるでしょうか。
2本のコイルについても、 それぞれに生じる誘導起電力と、 電流が流れる条件を考える点は同じです。
そして、Ⅲ(2)では台車の速さの変化を求めます。
ここで思い出したいのが、 Ⅰ(2)で使った考え方です。
大問の後半で手が止まったら、 前半の小問で何を考えたか、 何が分かったかを振り返ってみる。 そこに次の問題を解く手がかりがあるかもしれません。
詳しく見る｜Ⅰ(2)とⅢ(2)の共通点
Ⅰ(2)では、 台車の運動エネルギーの減少を、 抵抗で発生するジュール熱と結びつけて考えました。
Ⅲ(2)でも基本的な考え方は同じです。 違うのは、2つのコイルと抵抗を扱うことです。
まず、それぞれのコイルに生じる起電力と、 ダイオードによって電流が流れる経路を確認します。
Q₃からQ₄へ移る間は、 ダイオードによってどちらの回路にも電流が流れません。 したがって、台車に磁力による減速は生じず、 \(v_1=v_2\) となります。
磁場への進入中、 各抵抗に流れる電流の大きさは、 問題の条件のもとで次のように表せます。
ここで \(v_a\) は磁場通過中の平均の速さです。 磁場を通過する時間は、 速さの変化が小さいという近似から \(\displaystyle \Delta t=\frac{d}{v_a}\) と考えます。
2つの抵抗で発生するジュール熱を合計すると、
一方、台車の速さが \(v_0\) から \(v_2\) に 変わるとき、運動エネルギーの減少量は
これをジュール熱と等しくおけば、 平均の速さ \(v_a\) が消えて、
という関係が得られます。 さらに \(R_1+R_2=6R\) という条件から、 減速量を最小にするのは \(R_1=R_2=3R\) のときです。
計算は長くなっても、 出発点はⅠ(2)と同じです。 運動エネルギーの減少を ジュール熱と結びつける考え方を そのまま利用しています。
問題を解くとき、何を見るか
何を問われているのか。 条件が変わって何が変わったのか。 前の小問で考えたことを使えないか。
こうした問いを重ねることで、 複雑に見える問題も整理しやすくなります。
今回の問題でも、 最初から特別な解法が必要だったわけではありません。
磁場を通過する現象を分けて考える。 電流の式から運動の変化を読み取る。 後半の設問では、前半で使った考え方を利用する。
いずれも、高校物理で学んだ知識を どう使うかという話です。
大切なのは、 与えられた情報を整理し、 今必要な知識を自分で選べるようになること です。
弘道塾では、答えが合っているかどうかだけでなく、 生徒がどの条件に注目し、 どこで考えを止めたのかを確認しています。
解説を聞いて理解するだけでなく、 初めて見る問題でも、 自分で考える道筋を見つけられるようになること。 それを物理の指導でも大切にしています。