栃女の数学｜三角比から数学IIへ、
公式を「使える状態」にするには

栃女の生徒さんから数学の相談を受けていると、「高2になってから急に数学が難しくなった」という話が出ることがあります。学校の課題には取り組み、数学にも時間をかけている。それでも『4プロセス』を開くと、以前より手が止まる問題が増えてきた、という状態です。

その感覚自体は不自然ではありません。ただ、原因は高2になった瞬間に生まれたというより、三角比あたりから公式や基本事項が増え、それを自力で使える状態にすることが少しずつ追いつかなくなっている場合があります。

三角比あたりから、覚えることが増えてくる

数学では、必要な公式や基本事項を覚えていることも必要です。「丸暗記はよくない」と言うだけでは、実際の問題は解けません。

一方で、三角比から数学IIへ進むにつれて、覚える内容は増えていきます。ここで似た公式を一つずつ別々に覚えようとすると、覚えたつもりでも必要な場面で出てこない、ということが起こりやすくなります。

例えば三角関数の変換では、まず sin・cos・tan の「種類が変わるか」を考え、そのあとで符号を考えます。似た形の公式を一つずつ別々に覚えるのではなく、判断する部分を分けて整理します。

公式を減らすというより、覚えた内容を使いやすく整理するための考え方です。

三角関数の変換を「種類」と「符号」に分けて整理した授業資料の一部です。実際の授業では、生徒の手元の解き方を見ながら説明します。

覚えた公式を、教科書の問い・例題で使えるか

解説を読んで分かることと、解説を閉じて自分で解けることは別です。数学IIで手が止まる問題が増えてきたときは、まず必要な公式が出てきて、教科書の問い・例題レベルなら自力で式を立てて最後まで解けるかを確認します。

解説を読んだ直後は分かっていても、翌日にもう一度解くと手が止まることは珍しくありません。その場合は、応用問題の考え方へ進む前に、基本事項を自分で使える状態にしておく必要があります。

教科書の例題は解ける。それでも『4プロセス』で止まる

教科書の問い・例題が自力で解けるようになれば、次は『4プロセス』です。ここでは、公式を覚えているだけでは足りない問題が増えてきます。

三角関数なら、加法定理そのものは書けても、問題を見たときに何を変形したいのか、倍角・半角などをどう使うのかで手が止まることがあります。図形と方程式でも、公式を知っていることと、問題文の条件をどの式に置き換えるかを決めることは別です。

「覚えている」「基本問題で使える」「問題に応じて使うものを選べる」は、それぞれ別の段階です。

『4プロセス』は、何のために繰り返すのか

『4プロセス』を繰り返すこと自体には意味があります。ただ、何周したかだけでは、数学の状態は分かりません。

公式が曖昧なら、基本事項を定着させるために繰り返す。解説を見れば分かるのに自力では式が立たないなら、自分で解き始められる状態にするためにもう一度解く。ある程度自力で解けるようになったら、同じ問題を答えまで覚えた状態でなぞり続けるのではなく、少し条件の違う問題でも使えるかを確認します。

周回は目的ではなく、できなかったことを自力でできるようにするための手段として考える方が分かりやすいと思います。

その先では、自分で方針を決める

教科書の問い・例題が解け、『4プロセス』でも基本的な問題を自力で進められるようになれば、次は問題の条件から使う公式や解法を自分で選ぶ段階です。

模試や大学入試では、「この公式を使う」と問題側から示してくれるわけではありません。例えば三角関数でも、加法定理を使うのか、合成するのか、別の形に置き換えるのかは、問題の条件を見て自分で判断することになります。だからこそ、公式を覚える段階と、基本問題で使う段階を曖昧にしたまま先へ進まないことが大切です。

数学が全部分からなくなった、と考える前に

三角比から数学IIにかけて手が止まる問題が増えても、全部を最初からやり直す必要があるとは限りません。必要な公式が出てくるか。教科書レベルなら自力で使えるか。『4プロセス』で少し条件が変わっても使えるか。まずはそこを分けて確認します。

弘道塾では、答案や途中式を見て確認するところを絞り、必要に応じて問題を解いたときの考え方も一緒にたどりながら、どの段階から整理し直す必要があるかを確認しています。数学で手が止まる場所そのものの見分け方については、別の記事で詳しく整理しています。