波の干渉｜公式を覚えていても、
入試問題で式が立たないのはなぜか
この記事で扱うこと
- 干渉条件の公式を覚えていても、式が立たない理由
- 光路差と反射時の位相変化をどう整理するか
- 入試標準問題で、公式を使う前に考えたいこと
波の干渉では、強め合う条件と弱め合う条件を 覚えていることが、問題を解くための出発点になります。
しかし、実際の入試問題では、 公式を覚えているだけでは式を立てられないことがあります。
どの2本の波を比べるのか。 どこに光路差が生じるのか。 反射による位相変化はあるのか。
こうした条件を整理して初めて、 強め合う条件・弱め合う条件を使えるようになります。 今回は、ニュートンリングを題材に考えてみます。
まず、問題を見てみましょう
次は、大学入試の出題を参考に、
弘道塾で再構成した問題です。
個々の計算は基本的ですが、
幾何と波の干渉を組み合わせて考える必要があります。
入試標準問題：ニュートンリング
曲率半径 R の十分に薄い凸レンズを、 水平な平面ガラス板の上に置く。 レンズ下面とガラス板上面の間には、 薄い空気層ができる。
上方から波長 λ の単色光をほぼ垂直に入射させ、 反射光を観察すると、同心円状の明暗のしまが見えた。
レンズとガラス板の接点を O とし、 O から水平距離 r の位置での 空気層の厚さを d とする。 R は d に比べて十分大きく、 d² は無視できるものとする。
空気の屈折率は1.0、ガラスの屈折率は1.5とする。 空気からガラスへの反射では位相が π だけ変化し、 ガラスから空気への反射では位相変化がない。 また、空気層内での光の進行はほぼ鉛直とみなす。
- レンズの球面の幾何的関係から、 d を R と r で表せ。
- 反射光を上から観察するとき、 接点 O は明るく見えるか、暗く見えるか。 2本の反射光の位相に着目して理由を説明せよ。
- O の外側に現れる暗い円を、 内側から順に第1、第2、…、第m暗線とする。 第m暗線の半径を rₘ とするとき、 rₘ² と m の関係を求めよ。
問題の参考出典：2009年 茨城大学入試・物理。 ニュートンリングに関する出題を参考に、 弘道塾で問題文・設問を再構成。
ここで、すぐに干渉条件の公式を書くのではなく、 まず「どの2本の光が干渉しているのか」を確認します。
どの2本の光が干渉するのか
ニュートンリングでは、 レンズ下面で反射した光と、 空気層を通って平面ガラス板の上面で反射した光が 干渉します。
完成した光路図を見る前に、 まずは光がどのように進むのかを順番に追ってみましょう。
光の経路を順番に確認する
「次へ」を押すと、光の経路が一段階ずつ表示されます。 レンズ下面とガラス板上面の反射位置に注目してください。
上方から入射した光が、 レンズ下面に到達します。 ここが最初の分岐点です。
反射位置付近を拡大した模式図です。 ほぼ垂直入射として扱い、 光線を識別するために経路をわずかにずらしています。 空気層内のU字状の部分は、往復経路を区別するための表現です。 実際の光が曲線を描いて進むことを意味しません。
2本の光の違いを整理すると、 反射光②は空気層を往復するため、 近似的に 2d の光路差が生じます。
ただし、光路差が分かっただけでは、 強め合うか弱め合うかは決まりません。
もう一つ確認する必要があるのが、 反射による位相変化です。
光路差が0なら、必ず強め合うのか
接点Oでは空気層の厚さdが0になります。 したがって、2本の反射光の光路差も0です。
では、中心は明るくなるのでしょうか。
光路差だけで判断せず、 反射する境界面にも注目して考えてみてください。
中心の明暗と、その理由を確認する
レンズ下面では、ガラスから空気への反射なので、 位相変化はありません。
一方、平面ガラス板上面では、 空気からガラスへの反射なので、 位相がπだけ変化します。
光路差が0でも、一方の光だけが反射時に 位相をπ変化させるため、 中心では2本の反射光が弱め合います。
実際の指導教材で整理する
干渉条件を考える際には、 経路差と位相の変化を分けて整理すると 見通しがよくなります。
次は、弘道塾で実際に使用している、 干渉条件と反射による位相変化を整理した 手書き教材です。
この資料では、経路差が波長の整数倍・半整数倍に なる場合の干渉条件に加えて、 固定端反射と自由端反射による位相の違いも 整理しています。
固定端・自由端反射は、位相の反転を理解するための 一つの手掛かりです。 光の反射では、境界面の屈折率の大小関係を確認します。
今回の問題では、 反射による位相のずれがあるため、 光路差だけを見て干渉条件を決めることはできません。
ここまで整理できれば、式は短くなります
干渉する2本の光、光路差、反射時の位相変化を 整理できたら、実際に式を立ててみましょう。
まずは問題(1)〜(3)を自分で考え、 その後で計算過程と解答を確認してみてください。
計算過程と解答を確認する
（1）空気層の厚さを求める
レンズの球面の幾何的関係から、 次の式が得られます。
2Rd = d² + r²
d ≒ r² / (2R)
ここではd²を無視しています。
（2）中心Oの明暗を判断する
中心ではd=0なので、光路差は0です。 しかし、一方の反射光だけが位相をπ変化させるため、 2本の反射光は弱め合います。
したがって、中心Oは暗くなります。
（3）暗線の半径と番号の関係
反射時の位相変化を考慮すると、 暗線の条件は次のようになります。
中心以外の暗線については、 m=1,2,3,…とします。
（1）で求めたdを代入すると、
rₘ² = mRλ
よって、暗線の半径の2乗は、 中心から数えた暗線の番号mに比例します。
答案として書く式はそれほど多くありません。
しかし、その前には、 どの2本の光を比べるのか、 何が光路差になるのか、 反射による位相変化があるのか、 という判断が必要でした。
まとめ｜干渉条件を書く前に確認したいこと
今回のニュートンリングでは、 公式を当てはめる前に、 光の経路と反射による位相変化を 整理する必要がありました。
干渉問題で確認する4つのこと
- どの2本の光が干渉するのか まず比較する光を特定する。
- 光路差はどこから生じるのか 経路や媒質の違いを整理する。
- 反射などによる位相変化はあるか 光路差だけで判断しない。
- どの干渉条件を使うのか ここまで整理してから式を立てる。